Unendlichkeitsaxiom

Un|endlichkeits|axiom,

 

ein Axiom der axiomatischen Mengenlehre, das die Existenz unendlicher Mengen postuliert. In ihrem stufenfreien Aufbau sagt es aus, dass eine Menge M existiert, zu deren Elementen die leere Menge ∅ und mit jedem Element x auch die Vereinigungsmenge x ∪ {x} aus x und der einelementigen Menge {x} gehört. Im Stufenkalkül (Typentheorie) wird die Existenz einer unendlichen Menge erster Stufe gefordert. Das Unendlichkeitsaxiom ermöglicht insbesondere die mengentheoretische Konstruktion der natürlichen Zahlen mit der Nachfolgerfunktion x → x ∪ {x}. Dabei kann 0 als die leere Menge definiert werden, 1 als die Menge, die 0 als einziges Element enthält, 2 als die Menge, die 0 und 1 als Elemente besitzt, usw.